פרס של מיליון דולר מוצע למי שיוכל לפתור בעיית מתמטיקה מפורסמת שמעסיקה מתמטיקאים כבר במשך יותר ממאה וחמישים שנים.
השערת רימן, שהוצעה לראשונה על ידי המתמטיקאי הגרמני ברנהרד רימן בשנת 1859, נחשבת לאחת מהבעיות הבלתי פתורות הקשות והחשובות ביותר של המתמטיקה הטהורה - התחום של המתמטיקה העוסק בחשיבה על מתמטיקה, ולא ביישום שלה בעולם האמיתי. השערת רימן לא הוכחה מעולם, גם לא על ידי רימן עצמו שניסה לעשות זאת במשך שבע השנים שלאחר מכן, עד למותו בשנת 1866.
מהי ההשערה ומהי הבעיה? זה קצת (טוב, הרבה) מרוכב ודי קשה להסביר אבל ננסה לפשט ככל האפשר: ההשערה מבוססת על פונקציית זטא (שמיוחסת אף היא לרימן) - זוהי השערה הנוגעת, בין השאר, למספרים ראשוניים ולאופן התפלגותם בין המספרים האחרים. פונקציית זטא של רימן מתאפסת במספר ערכים, חלקם מכונים "אפסים טריוויאליים" ואותם די פשוט לגלות ובהם אין עניין רב. לעומת זאת יש סדרת פתרונות אחרת "לא טריוויאלית" בהן מתאפסת הפונקציה, שכל הערכים בה הם מספרים מרוכבים. השערת רימן גורסת כי כל המספרים המרוכבים המהווים פתרון למשוואת זיטא הם בעלי חלק ממשי השווה ל- 1/2 וחלק מדומה נוסף כלשהו. במידה והיו מציגים את כל הפתרונות ה "לא טריוויאלים" במישור מרוכב, השערת רימן גורסת כי כולם היו נמצאים על ישר אחד (המכונה: הישר הקריטי).
באתר "מדע גדול בקטנה" מסבירים שבשנת 1859 פרסם רימן מאמר בשם "על כמות המספרים הראשוניים הקטנים ממספר נתון" שבו חקר בעיה מרכזית במתמטיקה - הניסיון להבין כיצד פזורים המספרים הראשוניים. אין נוסחה פשוטה שמאפשרת לדעת, למשל, כמה מספרים ראשוניים יש בין 1 ל1000. המתמטיקאים מנסים לקבל הערכות טובות לשאלות כאלו. פריצת הדרך של רימן הייתה שיצר כלי חדש לגמרי - האנליזה של מספרים מרוכבים. מבלי לפרט מהם מספרים מרוכבים נציין שהם הרחבה של מערכת המספרים ה"רגילה" למערכת עם תכונות נוספות - למשל, יש שורש ריבועי למספר 1.
הכלי המרכזי שרימן התבסס עליו במאמרו הייתה פונקציה מרוכבת - התאמה בין קלט ופלט שהם מספרים מרוכבים - בשם "פונקציית זטא". הפונקציה הייתה מוכרת גם לפני רימן, אבל לא חשבו להשתמש בה באופן המבריק שבו רימן השתמש. הוא הצביע על תכונה חשובה של מספרים מרוכבים שכאשר מזינים אותם לפונקציה מקבלים את הפלט 0 - המספרים הללו נקראים "האפסים" של פונקציית הזטא. רימן מצא שני סוגים של אפסים - המספרים השליליים הזוגיים (2-, 4- וכן הלאה) ומספרים מרוכבים שנמצאים כולם באיזור מצומצם יחסית (פורמלית: הערך הממשי שלהם הוא בין 0 ל-1). אפשר לדמות את האיזור הזה ל"רצועה", ורימן העלה את ההשערה שלמעשה, אפשר לצמצם ותו לקו בודד (ערך ממשי 1/2). כלומר, ההשערה של רימן מלמדת על התכונות הבסיסיות של המספרים שמאפסים את פונקציית הזטא.
עוד על מתמטיקה
התרגיל המתמטי שינפח לכם את הראש - אבל יציל את החיים שלכם
שאלת המבחן הזאת גרמה לתלמידים לפרוץ בבכי. האם אתם תצליחו לפתור אותה?
רימן עצמו עזב את תורת המספרים אחרי המאמר הזה, אבל הקשר שמצא היה כה מבריק שהמאמר הבודד הזה ייסד תחום מחקר שלם - "תורת המספרים האנליטית", ותוצאות רבות בתחום הזה (ובתחומים נוספים) נסמכות על ההנחה שהאפסים של פונקציית הזטא הם בעלי התכונה שרימן שיער. זו הסיבה לעניין הרב שההשערה יוצרת. לא מדובר רק באתגר אינטלקטואלי של היכרות עם פונקציה מוזרה כלשהי, אלא בתוצאה בעלת השלכות משמעותיות על תחומים נוספים במתמטיקה.
בגדול, התשובה להשערת רימן היא פשוטה: "כן" או "לא", אך ישנן דרכים רבות להוכיח אותה, כולן קשות מאוד. אם התשובה היא "כן", היא תהיה בעלת השלכות משמעותיות על תורת המספרים, ההצפנה ותחום לימוד המספרים הראשוניים, ולכן השערת רימן מכונה לפעמים "הגביע הקדוש של המתמטיקה". יש הרבה ראיות טובות שמביאות את טובי המתמטיקאים להאמין שהשערת רימן נכונה, אך היא עדיין לא הוכחה.
מנגד, אם התשובה היא לא - זה יערער את כל מה שאנחנו יודעים על מתמטיקה. כן. עד כדי כך. השערת רימן היא אחת ההשערות החשובות ביותר במתמטיקה המודרנית. אחת הסיבות לכך היא שישנם מאות או אלפי מאמרים מתמטיים שמוכיחים משפטים מתמטיים שונים רק בהנחה שהשערת רימן נכונה. המתמטיקאי, הקומיקאי והמורה לשעבר מאט פרקר הסביר שהמומחים "אובססיביים עם המספרים הראשוניים מכיוון שהם הבסיס לכל מספר אחר. מספרים ראשוניים במתמטיקה הם כמו אטומים בכימיה, לבנים בענף הבנייה וצ'קים שמנים מדי בכדורגל מקצועי", הוא אמר. "הכל בנוי מהיחידות הבסיסיות האלה וניתן לחקור את שלמותו של משהו על ידי התבוננות ביחידות מהן הוא עשוי".
כפי שהמתמטיקאי פיטר סארנאק הסביר לניו יורק פוסט: "אם השערת רימן אינה נכונה, אז העולם הוא מקום שונה מאוד... בדרך מסוימת, זה יהיה מעניין יותר אם היא תתגלה כלא נכונה, אבל זה יהיה אסון כי בנינו כל כך הרבה על הנחת נכונותה".
מתמטיקאים רבים ניסו לפתור את השערת רימן לאורך 164 שנות קיומה, אך אף אחד מהניסיונות שלהם לא התקבל ובשנת 2000 הכריז מכון קליי למתמטיקה, הנמצא בקיימברידג', מסצ'וסטס, על פרס בסך מיליון דולר שיינתן לראשון שיפתור אחת משבע בעיות מתמטיות מרכזיות (בעיות המילניום).. אחת משבע הבעיות האלה היא השערת רימן, והפרס יינתן למי שיוכיח את נכונותה בדרך הניתנת לאימות (אם מישהו יפריך את השערת רימן הוא לא יזכה בפרס וייתכן שהסיבה לכך היא שהוכחה היא עבודה מתמטית טהורה, בעוד שהפרכה יכולה להתקבל גם על ידי מחשב, שימצא דוגמה סותרת אחת).